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indic-aime-2026
by ai4bharat
indic-aime-2026 AIME 2026 is the 30 problems of the 2026 American Invitational Mathematics Examination, as extracted, converted to LaTeX and verified by MathArena for its leaderboard. Every answer is an integer from 0 to 999, so it tests multi-step competit…
CC-BY-NC-SA-4.0text-generation 26 0n < 1K rows
published 22 Sept 2026
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| problem_idx | answer | problem | problem_Assamese_translation | problem_Bengali_translation | problem_Gujarati_translation | problem_Hindi_translation | problem_Kannada_translation | problem_Malayalam_translation | problem_Marathi_translation | problem_Nepali_translation | problem_Odia_translation | problem_Punjabi_translation | problem_Sanskrit_translation | problem_Tamil_translation | problem_Telugu_translation | problem_Urdu_translation |
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| 1 | 277 | Patrick started walking at a constant rate along a straight road from school to the park. One hour after Patrick left, Tanya started running along the same road from school to the park. One hour after Tanya left, Jose started bicycling along the same road from school to the park. Tanya ran at a con… | পেট্ৰিকে বিদ্যালয়ৰ পৰা পাৰ্কলৈ এডাল পোন পথৰে এক স্থিৰ গতিত খোজ কাঢ়িবলৈ আৰম্ভ কৰিলে। পেট্ৰিক ওলাই যোৱাৰ এক ঘণ্টাৰ পিছত, তানিয়াই একেডাল পথেৰে বিদ্যালয়ৰ পৰা পাৰ্কলৈ দৌৰিবলৈ আৰম্ভ কৰিলে। তানিয়া ওলাই যোৱাৰ এক ঘণ্টাৰ পিছত, জোছে একেডাল পথেৰে বিদ্যালয়ৰ পৰা পাৰ্কলৈ চাইকেল চলাবলৈ আৰম্ভ কৰিলে। তানিয়াই … | প্যাট্রিক স্কুল থেকে পার্কের দিকে একটি সোজা রাস্তা ধরে সমবেগে হাঁটা শুরু করল। প্যাট্রিক রওনা হওয়ার এক ঘণ্টা পর, তানিয়া একই রাস্তা ধরে স্কুল থেকে পার্কের দিকে দৌড়ানো শুরু করল। তানিয়া রওনা হওয়ার এক ঘণ্টা পর, হোসে একই রাস্তা ধরে স্কুল থেকে পার্কের দিকে সাইকেল চালানো শুরু করল। তানিয়া প্যাট্রিকের হাঁটার… | પેટ્રિકે શાળાથી પાર્ક તરફ એક સીધા રસ્તા પર અચળ ઝડપે ચાલવાનું શરૂ કર્યું. પેટ્રિકના નીકળ્યાના એક કલાક પછી, તાન્યાએ તે જ રસ્તા પર શાળાથી પાર્ક તરફ દોડવાનું શરૂ કર્યું. તાન્યાના નીકળ્યાના એક કલાક પછી, જોસે તે જ રસ્તા પર શાળાથી પાર્ક તરફ સાયકલ ચલાવવાનું શરૂ કર્યું. તાન્યા પેટ્રિકના ચાલવાની ઝડપ કરતાં $2… | पैट्रिक ने स्कूल से पार्क तक एक सीधी सड़क पर एक स्थिर गति से चलना शुरू किया। पैट्रिक के निकलने के एक घंटे बाद, तान्या ने उसी सड़क पर स्कूल से पार्क की ओर दौड़ना शुरू किया। तान्या के निकलने के एक घंटे बाद, जोस ने उसी सड़क पर स्कूल से पार्क की ओर साइकिल चलाना शुरू किया। तान्या, पैट्रिक के चलने की गति… | ಪ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಉದ್ಯಾನವನಕ್ಕೆ ನೇರವಾದ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು. ಪ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ ಹೊರಟ ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ನಂತರ, ತಾನ್ಯಾ ಅದೇ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಉದ್ಯಾನವನಕ್ಕೆ ಓಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಳು. ತಾನ್ಯಾ ಹೊರಟ ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ನಂತರ, ಜೋಸ್ ಅದೇ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಉದ್ಯಾನವನಕ್ಕೆ ಸೈಕಲ್ ಸವಾರಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು. ತಾನ್ಯಾ ಪ್ಯ… | പാട്രിക് സ്കൂളിൽ നിന്ന് പാർക്കിലേക്ക് ഒരു നേർരേഖാ പാതയിലൂടെ സ്ഥിരവേഗതയിൽ നടക്കാൻ തുടങ്ങി. പാട്രിക് പുറപ്പെട്ട് ഒരു മണിക്കൂറിനു ശേഷം, താന്യ അതേ പാതയിലൂടെ സ്കൂളിൽ നിന്ന് പാർക്കിലേക്ക് ഓടാൻ തുടങ്ങി. താന്യ പുറപ്പെട്ട് ഒരു മണിക്കൂറിനു ശേഷം, ജോസ് അതേ പാതയിലൂടെ സ്കൂളിൽ നിന്ന് പാർക്കിലേക്ക് സൈക്കിൾ ചവിട്ടാ… | पॅट्रिकने एका सरळ रस्त्याने शाळेपासून बागेकडे स्थिर वेगाने चालायला सुरुवात केली. पॅट्रिक निघाल्यानंतर एका तासाने, तान्याने त्याच रस्त्याने शाळेपासून बागेकडे धावायला सुरुवात केली. तान्या निघाल्यानंतर एका तासाने, जोसने त्याच रस्त्याने शाळेपासून बागेकडे सायकल चालवायला सुरुवात केली. तान्या पॅट्रिकच्या … | प्याट्रिकले विद्यालयबाट पार्कसम्म एउटा सीधा सडकमा स्थिर गतिमा हिँड्न सुरु गरे। प्याट्रिक हिँडेको एक घण्टापछि, तान्याले सोही सडक भएर विद्यालयबाट पार्कसम्म दौडिन सुरु गरिन्। तान्या हिँडेको एक घण्टापछि, जोसले सोही सडक भएर विद्यालयबाट पार्कसम्म साइकल चलाउन सुरु गरे। तान्या प्याट्रिक हिँडेको गतिभन्दा $2… | ପାଟ୍ରିକ୍ ବିଦ୍ୟାଳୟରୁ ପାର୍କ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ସଳଖ ରାସ୍ତାରେ ଏକ ସ୍ଥିର ବେଗରେ ଚାଲିବା ଆରମ୍ଭ କଲା। ପାଟ୍ରିକ୍ ବାହାରିବାର ଏକ ଘଣ୍ଟା ପରେ, ତାନିଆ ସେହି ସମାନ ରାସ୍ତାରେ ବିଦ୍ୟାଳୟରୁ ପାର୍କ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଦୌଡ଼ିବା ଆରମ୍ଭ କଲା। ତାନିଆ ବାହାରିବାର ଏକ ଘଣ୍ଟା ପରେ, ଜୋସେ ସେହି ସମାନ ରାସ୍ତାରେ ବିଦ୍ୟାଳୟରୁ ପାର୍କ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସାଇକେଲ୍ ଚଳାଇବା ଆରମ୍ଭ କଲା। ତାନ… | ਪੈਟਰਿਕ ਨੇ ਸਕੂਲ ਤੋਂ ਪਾਰਕ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗਤੀ ਨਾਲ ਤੁਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ। ਪੈਟਰਿਕ ਦੇ ਰਵਾਨਾ ਹੋਣ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੰਟਾ ਬਾਅਦ, ਤਾਨੀਆ ਨੇ ਉਸੇ ਸੜਕ 'ਤੇ ਸਕੂਲ ਤੋਂ ਪਾਰਕ ਵੱਲ ਦੌੜਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ। ਤਾਨੀਆ ਦੇ ਰਵਾਨਾ ਹੋਣ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੰਟਾ ਬਾਅਦ, ਹੋਜ਼ੇ ਨੇ ਉਸੇ ਸੜਕ 'ਤੇ ਸਕੂਲ ਤੋਂ ਪਾਰਕ ਵੱਲ ਸਾਈਕਲ ਚਲਾਉਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ। ਤਾਨੀਆ ਪੈਟਰਿਕ ਦੇ ਤੁਰਨ… | पैट्रिकः विद्यालयात् उद्यानपर्यन्तम् एकस्मिन् ऋजुमार्गे अचरगत्या पदभ्यां चलितुम् आरब्धवान्। पैट्रिकस्य प्रस्थानात् एकहोरायाः अनन्तरं, तान्या तस्मिन् एव मार्गे विद्यालयात् उद्यानपर्यन्तं धावितुम् आरब्धवती। तान्यायाः प्रस्थानात् एकहोरायाः अनन्तरं, होज़े तस्मिन् एव मार्गे विद्यालयात् उद्यानपर्यन्तं द्… | பேட்ரிக் பள்ளியிலிருந்து பூங்காவிற்கு ஒரு நேரான சாலையில் மாறாத வேகத்தில் நடக்கத் தொடங்கினார். பேட்ரிக் புறப்பட்ட ஒரு மணி நேரத்திற்குப் பிறகு, தான்யா அதே சாலையில் பள்ளியிலிருந்து பூங்காவிற்கு ஓடத் தொடங்கினார். தான்யா புறப்பட்ட ஒரு மணி நேரத்திற்குப் பிறகு, ஜோஸ் அதே சாலையில் பள்ளியிலிருந்து பூங்காவிற்… | పాట్రిక్ పాఠశాల నుండి పార్కు వరకు ఒక సరళ మార్గంలో స్థిర వేగంతో నడవడం ప్రారంభించాడు. పాట్రిక్ బయలుదేరిన ఒక గంట తర్వాత, తాన్యా అదే మార్గంలో పాఠశాల నుండి పార్కు వరకు పరుగెత్తడం ప్రారంభించింది. తాన్యా బయలుదేరిన ఒక గంట తర్వాత, జోస్ అదే మార్గంలో పాఠశాల నుండి పార్కు వరకు సైకిల్ తొక్కడం ప్రారంభించాడు. తాన్… | پیٹرک نے اسکول سے پارک کی طرف ایک سیدھی سڑک پر مستقل رفتار سے چلنا شروع کیا۔ پیٹرک کے روانہ ہونے کے ایک گھنٹے بعد، تانیا نے اسی سڑک پر اسکول سے پارک کی طرف دوڑنا شروع کیا۔ تانیا کے روانہ ہونے کے ایک گھنٹے بعد، ہوزے نے اسی سڑک پر اسکول سے پارک کی طرف سائیکل چلانا شروع کی۔ تانیا، پیٹرک کے چلنے کی رفت… |
| 2 | 62 | Find the number of positive integer palindromes written in base $10$ with no zero digits, and whose digits add up to $13$. For example, $42124$ has these properties. Recall that a palindrome is a number whose representation reads the same from left to right as from right to left. | $10$ ভূমিতে লিখা এনে ধনাত্মক অখণ্ড পেলিনড্ৰমৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা যাৰ কোনো শূন্য অংক নাই আৰু যাৰ অংকবোৰৰ যোগফল $13$। উদাহৰণস্বৰূপে, $42124$-ৰ এই ধৰ্মসমূহ আছে। মনত পেলোৱা যে পেলিনড্ৰম হৈছে এনে এটা সংখ্যা যাৰ উপস্থাপন বাওঁফালৰ পৰা সোঁফাললৈ আৰু সোঁফালৰ পৰা বাওঁফাললৈ পঢ়িলে একেই হয়। | বেস $10$-এ লিখিত এমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার প্যালিনড্রোমের সংখ্যা নির্ণয় করো যার কোনো অঙ্ক শূন্য নয় এবং যার অঙ্কগুলোর যোগফল $13$। উদাহরণস্বরূপ, $42124$-এর এই বৈশিষ্ট্যগুলো রয়েছে। স্মরণ করো যে, একটি প্যালিনড্রোম হলো এমন একটি সংখ্যা যার রূপ বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বামে একইভাবে পড়া যায়। | આધાર $10$ માં લખાયેલા, જેમાં કોઈ શૂન્ય અંક ન હોય અને જેમના અંકોનો સરવાળો $13$ થતો હોય તેવા ધન પૂર્ણાંક પેલિન્ડ્રોમની સંખ્યા શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, $42124$ આ ગુણધર્મો ધરાવે છે. યાદ રાખો કે પેલિન્ડ્રોમ એવી સંખ્યા છે જેને ડાબેથી જમણે કે જમણેથી ડાબે વાંચતા એકસમાન વંચાય છે. | आधार $10$ में लिखे गए ऐसे धनात्मक पूर्णांक पैलिन्ड्रोमों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें कोई भी अंक शून्य न हो, और जिनके अंकों का योग $13$ हो। उदाहरण के लिए, $42124$ में ये गुण हैं। स्मरण रहे कि पैलिन्ड्रोम वह संख्या होती है जिसका निरूपण बाएँ से दाएँ पढ़ने पर भी वही रहता है जो दाएँ से बाएँ पढ़ने पर रह… | ಆಧಾರ $10$ ರಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸೊನ್ನೆ ಅಂಕೆಗಳಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $13$ ಆಗಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ಯಾಲಿಂಡ್ರೋಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $42124$ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹಾಗೂ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಓದಿದಾಗ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾಲಿಂಡ್ರೋಮ್ ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿ… | base $10$-ൽ എഴുതിയതും, പൂജ്യം അക്കങ്ങൾ ഇല്ലാത്തതും, അക്കങ്ങളുടെ തുക $13$ ആകുന്നതുമായ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ പാലിൻഡ്രോമുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക. ഉദാഹരണത്തിന്, $42124$-ന് ഈ സവിശേഷതകളുണ്ട്. ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടും ഒരുപോലെ വായിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യയാണ് പാലിൻഡ്രോം എന്ന് ഓർക്കുക. | पाया $10$ मध्ये लिहिलेल्या अशा धन पूर्णांक पॅलिंड्रोमची (palindromes) संख्या शोधा, ज्यांमध्ये एकही शून्य अंक नाही आणि ज्यांच्या अंकांची बेरीज $13$ आहे. उदाहरणार्थ, $42124$ मध्ये हे गुणधर्म आहेत. लक्षात ठेवा की पॅलिंड्रोम ही अशी संख्या असते जिचे रूप डावीकडून उजवीकडे आणि उजवीकडून डावीकडे सारखेच वाचले… | आधार $10$ मा लेखिएका, कुनै पनि शून्य अङ्क नभएका र अङ्कहरूको योगफल $13$ हुने धनात्मक पूर्णाङ्क प्यालिन्ड्रोमहरूको सङ्ख्या पत्ता लगाउनुहोस्। उदाहरणका लागि, $42124$ मा यी गुणहरू छन्। स्मरण रहोस् कि प्यालिन्ड्रोम भनेको यस्तो सङ्ख्या हो जसको मान बायाँबाट दायाँ र दायाँबाट बायाँ पढ्दा एउटै हुन्छ। | base $10$ ରେ ଲିଖିତ ଏପରି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ, ଯେଉଁଥିରେ କୌଣସି ଶୂନ ଅଙ୍କ ନ ଥିବ ଏବଂ ଯାହାର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ $13$ ହେଉଥିବ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $42124$ ରେ ଏହି ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ରହିଛି। ମନେପକାଇ ଦିଆଯାଉଛି ଯେ ଏକ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ହେଉଛି ଏପରି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ପ୍ରକାଶନ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ପଢ଼ି… | ਅਧਾਰ $10$ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਅਜਿਹੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਪੈਲਿਨਡ੍ਰੋਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਅੰਕ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $13$ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $42124$ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ। ਯਾਦ ਰਹੇ ਕਿ ਇੱਕ ਪੈਲਿਨਡ੍ਰੋਮ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਪੜ੍ਹਨ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਜ… | आधार-$10$-मध्ये लिखितानां, शून्य-अङ्क-रहितानां, तथा येषाम् अङ्कानां योगः $13$ भवति, तादृशानां धनात्मकपूर्णाङ्क-विलोमसङ्ख्यानां सङ्ख्यां प्राप्नुवन्तु। उदाहरणार्थम्, $42124$ इत्यस्याम् एते गुणाः सन्ति। स्मर्तव्यं यत् विलोमसङ्ख्या तादृशी सङ्ख्या भवति यस्याः रूपं वामतः दक्षिणं प्रति तथा दक्षिणतः वामं … | அடிமானம் $10$-இல் எழுதப்பட்ட, பூச்சிய இலக்கங்கள் இல்லாத மற்றும் இலக்கங்களின் கூடுதல் $13$ ஆக உள்ள மிகை முழு எண் சமச்சீர் எண்களின் (palindromes) எண்ணிக்கையைக் காண்க. உதாரணமாக, $42124$ இப்பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இடமிருந்து வலமாகப் படித்தாலும் வலமிருந்து இடமாகப் படித்தாலும் அதன் வடிவம் ஒரே மாதிரியாக இ… | భూమి $10$ లో రాయబడినవి, ఎటువంటి సున్నా అంకెలు లేనివి మరియు అంకెల మొత్తం $13$ అయ్యే ధన పూర్ణాంక పాలిండ్రోమ్ల సంఖ్యను కనుగొనండి. ఉదాహరణకు, $42124$ ఈ ధర్మాలను కలిగి ఉంటుంది. ఎడమ నుండి కుడికి మరియు కుడి నుండి ఎడమకు ఒకే విధంగా చదవబడే రూపం కలిగిన సంఖ్యను పాలిండ్రోమ్ అంటారని గుర్తుచేసుకోండి. | اساس $10$ میں لکھے گئے ایسے مثبت صحیح پیلنڈرومز کی تعداد معلوم کریں جن میں کوئی ہندسہ صفر نہ ہو، اور جن کے ہندسوں کا مجموعہ $13$ ہو۔ مثال کے طور پر، $42124$ میں یہ خصوصیات ہیں۔ یاد رہے کہ پیلنڈروم ایک ایسا عدد ہے جس کی نمائندگی بائیں سے دائیں اور دائیں سے بائیں ایک جیسی پڑھی جاتی ہے۔ |
| 3 | 79 | A hemisphere with radius $200$ sits on top of a horizontal circular disk with radius $200,$ and the hemisphere and disk have the same center. Let $\mathcal T$ be the region of points P in the disk such that a sphere of radius $42$ can be placed on top of the disk at $P$ and lie completely inside th… | $200$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা অৰ্ধগোলক $200,$ ব্যাসাৰ্ধৰ এখন অনুভূমিক বৃত্তাকাৰ চাকতিৰ ওপৰত অৱস্থিত, আৰু অৰ্ধগোলকটো তথা চাকতিখনৰ কেন্দ্ৰ একে। ধৰা হওক $\mathcal T$ হ'ল চাকতিখনৰ এনে $P$ বিন্দুবোৰৰ অঞ্চল যাতে চাকতিখনৰ ওপৰত $P$ বিন্দুত $42$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গোলক ৰাখিলে সি সম্পূৰ্ণৰূপে অৰ্ধগোলকটোৰ ভিতৰত থাকে। $\ma… | $200$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলক $200$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অনুভূমিক বৃত্তাকার ডিস্কের উপরে অবস্থিত, এবং অর্ধগোলক ও ডিস্কটির কেন্দ্র একই। ধরি $\mathcal T$ হলো ডিস্কের ভেতরের এমন বিন্দু P-এর অঞ্চল যেন $42$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি গোলক ডিস্কের উপর $P$ বিন্দুতে স্থাপন করা হলে তা সম্পূর্ণভাবে অর্ধগো… | $200$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક અર્ધગોળો $200$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર તકતીની ઉપર રહેલો છે, અને અર્ધગોળો તથા તકતી બંનેનું કેન્દ્ર સમાન છે. ધારો કે $\mathcal T$ એ તકતીમાં રહેલા એવા બિંદુઓ P નો પ્રદેશ છે કે જેથી $42$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક ગોળો તકતીની ઉપર $P$ આગળ મૂકવામાં આવે તો તે સંપૂર્ણપણે અર… | त्रिज्या $200$ का एक गोलार्ध त्रिज्या $200,$ वाली एक क्षैतिज वृत्ताकार डिस्क के ऊपर स्थित है, और गोलार्ध तथा डिस्क का केंद्र एक ही है। मान लीजिए $\mathcal T$ डिस्क में उन बिंदुओं P का क्षेत्र है जिससे कि त्रिज्या $42$ वाले एक गोले को $P$ पर डिस्क के ऊपर इस प्रकार रखा जा सके कि वह पूरी तरह गोलार्ध क… | $200$ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳವು $200$ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಸಮತಲೀಯ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮೇಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೋಳ ಹಾಗೂ ಡಿಸ್ಕ್ ಒಂದೇ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು P ಗಳ ಪ್ರದೇಶ $\mathcal T$ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ $42$ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ನ ಮೇಲೆ $P$ ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದಾಗ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಒಳಗೆ … | ആരം $200$ ഉള്ള ഒരു അർദ്ധഗോളം, ആരം $200$ ഉള്ള ഒരു തിരശ്ചീന വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഡിസ്കിന്റെ മുകളിലായി, ഒരേ കേന്ദ്രം വരുന്ന രീതിയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ആരം $42$ ഉള്ള ഒരു ഗോളത്തെ ഡിസ്കിന് മുകളിൽ $P$-ൽ വെയ്ക്കുമ്പോൾ അത് പൂർണ്ണമായും അർദ്ധഗോളത്തിനുള്ളിൽ ഒതുങ്ങിനിൽക്കാൻ സാധിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള ഡിസ്കിലെ ബിന്ദുക… | त्रिज्या $200$ असलेला एक अर्धगोल त्रिज्या $200$ असलेल्या एका क्षितिजसमांतर वर्तुळाकार चकतीवर स्थित आहे, आणि अर्धगोल व चकतीचे केंद्र एकच आहे. चकतीमधील अशा बिंदू P चा प्रदेश $\mathcal T$ मानू, जेणेकरून $42$ त्रिज्येचा एक गोल चकतीवर $P$ पाशी ठेवला असता तो पूर्णपणे अर्धगोलाच्या आत राहील. $\mathcal T$ च… | $200$ अर्धव्यास भएको एउटा अर्धगोला $200$ अर्धव्यास भएको एउटा तेर्सो वृत्ताकार डिस्कको माथि राखिएको छ, र अर्धगोला तथा डिस्कको केन्द्र एउटै छ। मानौँ डिस्कका बिन्दुहरू P को क्षेत्र $\mathcal T$ यस्तो छ कि अर्धव्यास $42$ भएको एउटा गोलालाई डिस्कको माथि $P$ मा राख्दा त्यो पूर्ण रूपमा अर्धगोलाभित्र पर्न स… | $200$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକ $200,$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଭୂସମାନ୍ତର ବୃତ୍ତାକାର ଡିସ୍କ ଉପରେ ରହିଛି, ଏବଂ ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକ ତଥା ଡିସ୍କର କେନ୍ଦ୍ର ସମାନ। ମନେକର $\mathcal T$ ହେଉଛି ଡିସ୍କରେ ଥିବା ଏପରି ବିନ୍ଦୁ P ଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଅଞ୍ଚଳ ଯେପରିକି $42$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଗୋଲକକୁ ଡିସ୍କ ଉପରେ $P$ ଠାରେ ରଖାଯାଇପାରିବ ଏବଂ ତାହ… | ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $200$ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $200,$ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਚੱਕਰੀ ਡਿਸਕ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਅਤੇ ਡਿਸਕ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਇੱਕੋ ਹੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $\mathcal T$ ਡਿਸਕ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ P ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $42$ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਡਿਸਕ ਦੇ ਉੱਪਰ $P$ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਉਹ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦੇ ਅੰ… | त्रिज्या $200$ युक्तः कश्चन अर्धगोलः त्रिज्या $200,$ युक्तायाः क्षैतिजवृत्ताकारचक्रिकायाः उपरि वर्तते, तथा च अर्धगोलस्य चक्रिकायाश्च केन्द्रम् एकमेव अस्ति। चक्रिकायां वर्तमानानां तादृशानां P बिन्दूनां प्रदेशः $\mathcal T$ अस्तु यत् त्रिज्या $42$ युक्तः कश्चन गोलः चक्रिकायाः उपरि $P$ बिन्दौ एवं स्था… | ஆரம் $200$ கொண்ட ஓர் அரைக்கோளம், ஆரம் $200,$ கொண்ட ஒரு கிடைமட்ட வட்ட வடிவத் தட்டின் மீது அமைந்துள்ளது, மேலும் அரைக்கோளமும் தட்டும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஆரம் $42$ கொண்ட ஒரு கோளத்தை தட்டின் மீது $P$ என்ற புள்ளியில் வைக்கும் போது, அது முழுமையாக அரைக்கோளத்திற்குள் இருக்கும் வகையில் தட்டில் உள்ள பு… | వ్యాసార్థం $200$ కలిగిన ఒక అర్ధగోళం, వ్యాసార్థం $200$ కలిగిన ఒక క్షితిజ సమాంతర వృత్తాకార డిస్క్ పైభాగంలో ఉంది, మరియు ఆ అర్ధగోళం మరియు డిస్క్ ఒకే కేంద్రాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. డిస్క్పై $P$ వద్ద వ్యాసార్థం $42$ కలిగిన ఒక గోళాన్ని ఉంచినప్పుడు అది పూర్తిగా అర్ధగోళం లోపల ఉండేటట్లుగా ఉండే డిస్క్లోని బిందు… | ایک نصف کرہ جس کا رداس $200$ ہے، $200,$ رداس والی ایک افقی دائروی ڈسک کے اوپر واقع ہے، اور نصف کرے اور ڈسک کا مرکز ایک ہی ہے۔ فرض کریں کہ $\mathcal T$ ڈسک کے ان نقاط P کا خطہ ہے جن کے لیے رداس $42$ کا ایک کرہ ڈسک کے اوپر $P$ پر اس طرح رکھا جا سکتا ہو کہ وہ مکمل طور پر نصف کرے کے اندر رہے۔ $\mathcal… |
| 4 | 70 | Find the number of integers less than or equal to 100 that are equal to $a+b+ab$ for some choice of distinct positive integers a and b. | 100-তকৈ সৰু বা সমান এনে অখণ্ড সংখ্যাৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা যিবোৰ কোনো সুকীয়া ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b-ৰ বাবে $a+b+ab$-ৰ সমান। | 100 এর চেয়ে ছোট বা সমান এমন পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা নির্ণয় করো যা পরস্পর ভিন্ন দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a ও b-এর কোনো পছন্দের জন্য $a+b+ab$-এর সমান। | કોઈ ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો a અને b ની પસંદગી માટે $a+b+ab$ ની બરાબર હોય તેવા 100 કે તેથી નાના પૂર્ણાંકોની સંખ્યા શોધો. | 100 से कम या उसके बराबर ऐसे पूर्णांकों की संख्या ज्ञात कीजिए जो किन्हीं भिन्न धनात्मक पूर्णांकों a और b के किसी चयन के लिए $a+b+ab$ के बराबर हों। | 100 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಯಾವುದಾದರೂ ವಿಭಿನ್ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ $a+b+ab$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. | വ്യത്യസ്തങ്ങളായ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളായ a, b എന്നിവയുടെ ഏതെങ്കിലും തെരഞ്ഞെടുപ്പിന് $a+b+ab$-ന് തുല്യമായതും 100-ന് തുല്യമോ അതിൽ കുറവോ ആയതുമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക. | काही भिन्न धन पूर्णांक a आणि b च्या निवडीसाठी $a+b+ab$ च्या बरोबर असणाऱ्या, 100 पेक्षा लहान किंवा बरोबर असणाऱ्या पूर्णांकांची संख्या शोधा. | कुनै भिन्न धनात्मक पूर्णाङ्कहरू a र b को छनोटका लागि $a+b+ab$ सँग बराबर हुने 100 भन्दा साना वा बराबर पूर्णाङ्कहरूको सङ्ख्या पत्ता लगाउनुहोस्। | 100 ସହିତ ସମାନ କିମ୍ବା ତା'ଠାରୁ କମ୍ ଥିବା ଏପରି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ, ଯାହା କୌଣସି ଭିନ୍ନ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା a ଏବଂ b ର ଚୟନ ପାଇଁ $a+b+ab$ ସହିତ ସମାନ ଅଟେ। | 100 ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਅਜਿਹੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ a ਅਤੇ b ਦੀ ਕਿਸੇ ਚੋਣ ਲਈ $a+b+ab$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। | 100 इत्यस्मात् न्यूनानां वा समानानां वा तादृशानां पूर्णाङ्कानां संख्यां प्राप्नुत, ये केषाञ्चित् भिन्न-धनात्मक-पूर्णाङ्कानाम् a तथा b इत्यनयोः कृते $a+b+ab$ इत्यनेन समानाः भवन्ति। | வெவ்வேறு மிகை முழுக்கள் a மற்றும் b ஆகியவற்றின் ஏதேனும் ஒரு தெரிவிற்கு, $a+b+ab$-க்குச் சமமாக இருக்கும் 100-க்குக் குறைவான அல்லது சமமான முழுக்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க. | వేర్వేరు ధన పూర్ణాంకాలు a మరియు b ల యొక్క ఏదో ఒక ఎంపికకు $a+b+ab$ కి సమానమయ్యే, 100 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన పూర్ణాంకాల సంఖ్యను కనుగొనండి. | 100 سے کم یا اس کے برابر ایسے صحیح اعداد کی تعداد معلوم کریں جو مختلف مثبت صحیح اعداد a اور b کے کسی انتخاب کے لیے $a+b+ab$ کے برابر ہوں۔ |
| 5 | 65 | A plane contains points $A$ and $B$ with $AB = 1$. Point $A$ is rotated in the plane counterclockwise through an acute angle $\theta$ around point $B$ to point $A^\prime$. Then $B$ is rotated in the plane clockwise through angle $\theta$ around point $A^\prime$ to point $B^\prime$. Suppose that $AB… | এখন সমতলত $A$ আৰু $B$ বিন্দু দুটা আছে য'ত $AB = 1$। সমতলখনত $A$ বিন্দুক $B$ বিন্দুৰ চাৰিওফালে ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত এটা সূক্ষ্মকোণ $\theta$-ৰ মাজেৰে $A^\prime$ বিন্দুলৈ আৱৰ্তন কৰা হ'ল। তাৰ পিছত সমতলখনত $B$-ক $A^\prime$ বিন্দুৰ চাৰিওফালে ঘড়ীৰ কাঁটাৰ দিশত $\theta$ কোণৰ মাজেৰে $B^\prime$ বিন্দুলৈ … | একটি সমতলে $A$ ও $B$ বিন্দু দুটি অবস্থিত যেখানে $AB = 1$। সমতলে $A$ বিন্দুকে $B$ বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একটি সূক্ষ্মকোণ $\theta$ কোণে আবর্তন করে $A^\prime$ বিন্দুতে নেওয়া হলো। এরপর সমতলে $B$ বিন্দুকে $A^\prime$ বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার দিকে $\theta$ কোণে আবর্তন করে $B^\prime… | એક સમતલમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ આવેલા છે જ્યાં $AB = 1$ છે. બિંદુ $A$ ને સમતલમાં બિંદુ $B$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં લઘુકોણ $\theta$ દ્વારા બિંદુ $A^\prime$ પર પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે. ત્યારબાદ બિંદુ $B$ ને સમતલમાં બિંદુ $A^\prime$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ખૂણા $\theta$ દ્વ… | एक समतल में बिंदु $A$ और $B$ स्थित हैं जहाँ $AB = 1$ है। बिंदु $A$ को समतल में बिंदु $B$ के परितः वामावर्त दिशा में एक न्यून कोण $\theta$ द्वारा बिंदु $A^\prime$ तक घुमाया जाता है। फिर बिंदु $B$ को समतल में बिंदु $A^\prime$ के परितः दक्षिणावर्त दिशा में कोण $\theta$ द्वारा बिंदु $B^\prime$ तक घुमाय… | ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ $AB = 1$ ಆಗಿರುವಂತೆ $A$ ಮತ್ತು $B$ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಬಿಂದು $A$ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು $B$ ಯ ಸುತ್ತ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಘುಕೋನ $\theta$ ದ ಮೂಲಕ ಬಿಂದು $A^\prime$ ಗೆ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ $B$ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು $A^\prime$ ನ ಸುತ್ತ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕೋನ $\theta$ ದ ಮೂಲಕ ಬಿಂದು $B^\prim… | ഒരു പ്രതലത്തിൽ $AB = 1$ ആയ രീതിയിൽ $A$, $B$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. $A$ എന്ന ബിന്ദുവിനെ $B$ എന്ന ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും പ്രതലത്തിൽ അപ്രദക്ഷിണദിശയിൽ ഒരു ന്യൂനകോൺ $\theta$ തിരിച്ച് $A^\prime$ എന്ന ബിന്ദുവിലെത്തിക്കുന്നു. തുടർന്ന് $B$ എന്ന ബിന്ദുവിനെ $A^\prime$ എന്ന ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും പ്രതലത്തി… | एका प्रतलात $A$ आणि $B$ हे बिंदू आहेत ज्यांच्यासाठी $AB = 1$ आहे. बिंदू $A$ हा त्या प्रतलात बिंदू $B$ भोवती घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने एका लघुकोन $\theta$ मधून बिंदू $A^\prime$ पर्यंत फिरवला जातो. नंतर $B$ हा त्या प्रतलात बिंदू $A^\prime$ भोवती घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने $\theta$ कोना… | एउटा समतलमा $AB = 1$ भएका बिन्दुहरू $A$ र $B$ रहेका छन्। बिन्दु $A$ लाई सो समतलमा बिन्दु $B$ को वरिपरि घडीको विपरीत दिशामा एक न्यून कोण $\theta$ ले बिन्दु $A^\prime$ सम्म घुमाइन्छ। त्यसपछि $B$ लाई सो समतलमा बिन्दु $A^\prime$ को वरिपरि घडीको दिशामा कोण $\theta$ ले बिन्दु $B^\prime$ सम्म घुमाइन्छ। मा… | ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ $A$ ଏବଂ $B$ ବିନ୍ଦୁ ରହିଛି ଯେଉଁଠାରେ $AB = 1$ । ବିନ୍ଦୁ $A$ କୁ ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁ $B$ ଚାରିପାଖରେ ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ $\theta$ ରେ ଘଣ୍ଟାକଣ୍ଟାର ବିପରୀତ ଦିଗରେ ବିନ୍ଦୁ $A^\prime$ କୁ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ କରାଗଲା । ତା’ପରେ $B$ କୁ ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁ $A^\prime$ ଚାରିପାଖରେ କୋଣ $\theta$ ରେ ଘଣ୍ଟାକଣ୍ଟାର ଦିଗରେ ବିନ୍ଦୁ $B^\prime$ କୁ ଘୂର୍ଣ… | ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ $AB = 1$ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ $A$ ਨੂੰ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $B$ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ $\theta$ ਰਾਹੀਂ ਬਿੰਦੂ $A^\prime$ ਤੱਕ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ $B$ ਨੂੰ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $A^\prime$ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੋਣ $\theta$ ਰਾਹੀਂ ਬਿੰਦੂ $B^\prime$ ਤੱਕ ਘੁ… | एकस्मिन् समतले $A$ तथा $B$ इति बिन्दू स्तः यत्र $AB = 1$। $A$ इति बिन्दुः समतले $B$ इति बिन्दुं परितः वामावर्तेन एकेन न्यूनकोणेन $\theta$ इत्यनेन $A^\prime$ इति बिन्दुं प्रति घूर्ण्यते। ततः $B$ इति बिन्दुः समतले $A^\prime$ इति बिन्दुं परितः दक्षिणावर्तेन $\theta$ कोणेन $B^\prime$ इति बिन्दुं प्रति … | ஒரு தளத்தில் $AB = 1$ என்றவாறுள்ள புள்ளிகள் $A$ மற்றும் $B$ உள்ளன. புள்ளி $B$-ஐப் பொறுத்து, புள்ளி $A$-வானது அத்தளத்தில் கடிகார எதிர் திசையில் குறுங்கோணம் $\theta$ அளவிற்கு சுழற்றப்பட்டு புள்ளி $A^\prime$ ஆகிறது. பின்னர், புள்ளி $A^\prime$-ஐப் பொறுத்து, $B$-ஆனது அத்தளத்தில் கடிகார திசையில் கோணம் $\… | ఒక తలంలో $AB = 1$ అయ్యేలా బిందువులు $A$ మరియు $B$ లు ఉన్నాయి. బిందువు $B$ పరంగా తలంలో అపసవ్య దిశలో అల్పకోణం $\theta$ ద్వారా బిందువు $A$ ని భ్రమణం చేసినప్పుడు అది బిందువు $A^\prime$ వద్దకు చేరుతుంది. ఆ తర్వాత బిందువు $A^\prime$ పరంగా తలంలో సవ్య దిశలో కోణం $\theta$ ద్వారా $B$ ని భ్రమణం చేసినప్పుడు అద… | ایک مستوی میں نقاط $A$ اور $B$ واقع ہیں جن کے لیے $AB = 1$ ہے۔ نقطہ $A$ کو مستوی میں نقطہ $B$ کے گرد گھڑی کے مخالف رخ پر ایک حادہ زاویے $\theta$ کے ذریعے نقطہ $A^\prime$ تک گھمایا جاتا ہے۔ پھر $B$ کو مستوی میں نقطہ $A^\prime$ کے گرد گھڑی کے رخ پر زاویے $\theta$ کے ذریعے نقطہ $B^\prime$ تک گھمایا جا… |
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